সামান্তরিক কাকে বলে-সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একাধিক সূত্র আছে। আজ আমরা ভূমি ও উচ্চতা দিয়ে এবং কর্ণ দিয়ে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র জানাবো। একই সাথে সামান্তরিক কাকে বলে? সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য ও এ সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যার সমাধান আলোচনা করবে।
সামান্তরিক কাকে বলে
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে। সামান্তরিকের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে সামান্তরিক ক্ষেত্র বলে।সামান্তরিক হলো সাধারণ চতুর্ভুজের একটি বিশেষ রূপ।
{tocify} Stitle={Custom Title}সামান্তরিক এর বৈশিষ্ট্য
- সামান্তরিকের দুই জোড়া বিপরীত কোণ পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের দুই জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের কর্ণ দুইটি অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণ দুইটি তাদের ছেদ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১ সরলকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ভূমি ও উচ্চতা দিয়ে
সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতা দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
চিত্র: ১ এ, ABCD সামান্তরিকের
ভূমি, BC = b একক ;
উচ্চতা, AE = h একক।
AC কর্ণ সামান্তরিকটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করেছে।
অতএব, ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
= ২ ( ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল)
= ২ × ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ভূমি × উচ্চতা
= b × h বর্গ একক
চিত্র: সামান্তরিক
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কর্ণ দিয়ে
কর্ণ দিয়ে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল: সামান্তরিকের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং ঐ কর্ণের বিপরীত কৌনিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = কর্ণ × ঐ কর্ণের বিপরীত কৌনিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
চিত্র- ২ এ, ABCD সামান্তরিকের
কর্ণ, BD = d একক ; এবং
BD এর বিপরীত কৌনিক বিন্দু A থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য, AE = h.
BD কর্ণ সামান্তরিকটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করেছে।
অতএব, ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
= ২ ( ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল)
= ২ × ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ভূমি × উচ্চতা
= d × h বর্গ একক
= কর্ণ × ঐ কর্ণের বিপরীত কৌনিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র-এর অংক সমাধান
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ সে.মি এবং একটি কর্ণ ২৪ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান: মনে করি, সামান্তরিকের একটি কর্ণ, d = ২৪ সে.মি. এবং
বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য, h সে.মি.।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = d × h বর্গ সে.মি.
প্রশ্নমতে, d × h = ১২০
বা, ২৪ × h = ১২০
বা, h = ১২০/২৪
বা, h = ৫
অতএব, নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য ৫সে.মি.
একটি সামন্তরিকের ভূমি ৪ ফুট এবং উচ্চতা ৩ ফুট হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট ?
সমাধান: আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
বা,সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৪ × ৩
অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ১২ বর্গফুট
সামান্তরিকের উচ্চতা নির্ণয়ের সূত্র
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র থেকে আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ÷ ভূমি
∴ সামান্তরিকের উচ্চতা নির্ণয়ের সূত্র = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ÷ সামান্তরিকের ভূমি
আরো পড়ুনঃ-
সামান্তরিকের উচ্চতা নির্ণয়ের সূত্র-এর অংক সমাধান
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩.৯ বর্গ সে,মি. এবং ভূমি ২.৬ সে.মি। এর উচ্চতা কত?
সামান্তরিকের ভূমি নির্ণয়ের সূত্র
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র থেকে আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
বা, ভূমি = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ÷ উচ্চতা
∴ সামান্তরিকের ভূমি নির্ণয়ের সূত্র = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ÷ সামান্তরিকের উচ্চতা
সামান্তরিকের ভূমি নির্ণয়ের সূত্র-এর অংক সমাধান
৭ সে.মি ভূমির ব্যাসার্ধ ও ১৫৩৯.৩৮ ঘন সে.মি. আয়তন বিশিষ্ট্য একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা সমান উচ্চতা বিশিষ্ট কোনো সমান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গ .মি হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?
সমাধান: সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হতে আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h যেখানে, h = সিলিন্ডারের উচ্চতা, r = সিলিন্ডারের ভূমির ব্যসার্ধ
বা, ১৫৩৯.৩৮ = ৩.১৪১৬ × ৭² × h
বা, h = ১৫৩৯.৩৮ ÷ ১৫৩.৯৩৮
∴ h = ১০
∴ সামান্তরিকের ভূমি = ৮০ ÷ ১০ = ৮ সে.মি
সামান্তরিকের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র
সামান্তরিকের পরিসীমা হলো এর চার বাহুর যোগফল।
চিত্র-১ হতে ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা
= a + b +a + b = 2a + 2 b = 2 (a+b)
অতএব , সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
একটি রম্বসের বড় কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান সামান্তারিকের দৈর্ঘ্য এবং বড় কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান সামান্তারিকের প্রস্থ হলে, যদি, রম্বসটির ছোট কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ১২ বর্গ সেমি.। তাহলে সামান্তরিকের পরিসীমা কত ?
সমাধান: রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হতে আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ১২ = ১/২ × ৪ × অপর কর্ণ
বা, ১২ = ২ × অপর কর্ণ
বা, অপর কর্ণ = ১২/২ সে.মি
∴ অপর কর্ণ = ৬ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
রম্বসের ছোট কর্ণ = ৪ সে.মি. = সামান্তরিকের প্রস্থ
রম্বসের বড় কর্ণ = ৬ সে.মি = সামান্তরিকের দৈর্ঘ্য
এখন, সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
বা, সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ ( ৬ × ৪) সে.মি
∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = ৪৮ সে.মি।
সামান্তরিকের কর্ণ নির্ণয়ের সূত্র
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুইটি বাহু ও অন্তর্ভূক্ত কোণ দেওয়া থাকলে
সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র:
মনে করি, একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুইটি a ও b এবং তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ θ।
তাহলে- সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = √(a² + b²- 2ab cosθ)
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুইটি বাহু ও একটি কর্ণ দেওয়া থাকলে
সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র:
মনে করি, একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুইটি a ও b এবং একটি কর্ণ c ।
তাহলে- সামান্তরিকের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = √(2 a² + 2 b²- c²)
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ১১৫ ডিগ্রি । অপর কোণটি কত ডিগ্রী হবে?
সমাধান: আমরা জানি, কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি
অতএব, কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ১১৫ ডিগ্রি হলে-
অপর কোণটি হবে = ( ১৮০ -১১৫) ডিগ্রি = ৬৫ ডিগ্রি.
একটি সামন্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ সে.মি. ৫ সে.মি. হলে এর পরিসীমা কত?
সমাধান: আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।
অতএব, সামান্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৭ + ৫) = ২৪ সে.মি
একটি বৃত্তের পরিধির সমান পরিসীমা বিশিষ্টি একটি সামান্তরিকের একটি বাহু অপর বাহুর অর্ধেক। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি. হলে, সামান্তরিকের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্র = ২πr , যেখানে, π = ২২/৭ এবং r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ
∴ বৃত্তের পরিধি = ২ × ২২/৭ × ৭ = ৪৪ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
সামান্তুরিকের পরিসীমা = ৪৪ সে.মি.
দেওয়া আছে, সামান্তরিকের একটি বাহু অপর বাহুর অর্ধেক।
ধরি, সামান্তরিকের একটি বাহু , ‘ক’ = প্রস্থ, ∴ অপর বাহু = ‘২ক’ = দৈর্ঘ্য
আবার, আমরা জানি,
২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = সামান্তরিকের পরিসীমা
বা, ২ ( ক + ২ ক) = ৪৪
বা, ২ × ৩ক = ৪৪
বা, ৬ ক = ৪৪
বা, ক = ৪৪ ÷ ৬
∴ ক = ৭.৩ সে.মি
∴ সামান্তরিকের একটি বাহু = ৭.৩৩ সে.মি (প্রায়)
এবং সামান্তরিকের অপর বাহু = ৭.৩৩ × ২ = ১৪.৬৭ সে.মি. (প্রায়)
সামান্তরিকের চার কোণের সমষ্টি কত?
সমাধান: যেহতু, সামান্তরিক একটি চতুর্ভুজ। অতএব, সামান্তরিকের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী।
আজকের আলোচনায় সমান্তরিক কাকে বলে? সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কী? সামান্তরিকের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র কী? এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা, কর্ণ, কোণ সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান আলোচনা করা হয়েছে। এ বিষয়ে কারো কোনো জানার থাকলে অবশ্যই কমেন্ট করবেন। ধন্যবাদ।