সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র
ঘন জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ একটা আকৃতি সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার। সিলিন্ডার বা বেলন এর পরিমাপ সম্পর্কিত সূত্র ও অংক নিয়ে আজ আলোচনা করব। সিলিন্ডার আকৃতি মূলত একই সাথে গোলাকার ও লম্বা কোনো বস্তুর আকৃতিকে বোঝায়। আমাদের চারপাশে থাকা বস্তু যেমন মোমবাতি, লিপিস্টিক এর কৌটা, গ্যাস সিলিন্ডার, সেন্টের বোতল, পাইপ, পানির ট্যাংক, ড্রাম ইত্যাদি সিলিন্ডার আকৃতির উদাহরণ।
{tocify} Stitle={Custom Title}
সিলিন্ডার কাকে বলে
কোনো আয়তক্ষেত্রের যেকোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চারদিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার বা বেলন বলে। স্থির রেখাটিকে বেলনটির অক্ষ ও এর বিপরীত বাহুকে বেলনটির সৃজক রেখা বলা হয় । এই সৃজক রেখা বা অক্ষ-রেখার দৈর্ঘ্যকে বেলন বা সিলিন্ডারের উচ্চতা বলে । অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য হচ্ছে বেলনটির ব্যাসার্ধ । সিলিন্ডার বা বেলন হলো একটি ত্রিমাত্রিক বক্রাকার ঘনবস্তু যার দুইটি তল উপরিতল ও নিচের তল পরস্পর সমান্তরাল ও সর্বসম দুইটি বৃত্ত।
সিলিন্ডারের তল কাকে বলে
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার বা বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল বলে। মবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার বা বেলনের উপরিতল ও নিচের তল মিলে মোট দুইটি তল থাকে।
সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠ কাকে বলে
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার বা বেলনের বৃত্তাকার তল বা বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ বলে।
সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতল কাকে বলে
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার বা বেলনের সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলে।
সিলিন্ডারের সৃজক রেখা কাকে বলে
আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার বা বেলনের সৃজক রেখা বা উৎপাদক বলে। অন্যভাবে বললে- সিলিন্ডারের বৃত্তাকার দুটি ভূমির কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে সিলিন্ডারের সৃজক রেখা বা অক্ষরেখা বলে। এই রেখাংশের দৈর্ঘ্য সিলিন্ডারের উচ্চতার সমান।
সিলিন্ডারের উচ্চতা কাকে বলে
সিলিন্ডারের ভূমি তল দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দুরত্বকে সিলিন্ডারের উচ্চতা বলে। সিলিন্ডারের যেকোনো গাণিতিক সমস্যা যেমন সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল, সিলিন্ডারের আয়তন ইত্যাদি নির্ণয় করার সময় সিলিন্ডারের উচ্চতা অবশ্যই জানতে হয়।
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ কাকে বলে
সিলিন্ডারের দুইটি ভূমি তল সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্ত। এই বৃত্তের ব্যাসার্ধকে সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ বলে।
সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের যেসব গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে অংকের সমাধান করা হয় সেগুলো নিচে দেওয়া হলো।
সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
সিলিন্ডারের ভূমি মূলত একটা বৃত্তক্ষেত্র আকৃতির। এ কারণে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র। কোনো সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r হলে
সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
সিলিন্ডারের বক্রতলের বা বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হলো এর ভূমির পরিধি ও উচ্চতার গুণফল। কোনো সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে
সিলিন্ডারের বক্রতলের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা = 2πr × h = 2πrh
সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র
দুইটি ভূমি তল ও একটি বক্রতল নিয়ে একটি সিলিন্ডার গঠিত হয়। সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল হলো এর সম্পূর্ণ বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল যাকে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও বলে। অর্থাৎ, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও দুইটি ভূমির ক্ষেত্রফলের যোগফলই হলো সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল । সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হলো এর ভূমির পরিধি ও উচ্চতার গুণফল। কোনো সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে
সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল + ভূমির ক্ষেত্রফল + ভূমির ক্ষেত্রফল
= 2πrh + πr² + πr² = 2πrh + 2πr² = 2πr (r +h)
অতএব, সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr (r +h)
সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র
সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের আয়তন হলো এর ভূমির ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার গুণফল। কোনো সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে
সিলিন্ডারের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = πr² × h = πr²h
পাইপের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র
সিলন্ডার, বেলন এবং পাইপ একই আকৃতির। এ কারণে সিলিন্ডারের আয়নতন নির্ণয়ের সূত্র যা, পাইপের আয়তন নির্ণয়ের সূত্রও তাই।
পাইপের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = πr² × h = πr²h
এখানে, ভূমির ক্ষেত্রফল = পাইপের বাইরের বা ভিরের ব্যাসার্ধ
পাইপের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র-এর অংক সমাধান
একটি লোহার পাইপের ভিতরের ব্যাস ১২ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫০০ সে.মি হলে এর আয়তন কত?
পাইপের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হতে আমরা জানি,
পাইপের আয়তন = π × পাইপের ব্যাসার্ধের বর্গ × পাইপের উচ্চতা
বা, পাইপের আয়তন = π × (১২/২)² × ৫০০ ঘন সে.মি
∴ পাইপের আয়তন = ৫৬৫৪৮.৮ ঘন সে.মি. (প্রায়)
সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র - এর অংক সমাধান
কোনো সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল ৮৯৬ বর্গ সে.মি ও উচ্চতা ৯ সে.মি হলে সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
সমাধান: সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হতে আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের অংক
একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে এর আয়তন এবং সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। [ নবম দশম শ্রেণির গণিত]
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা, h = 10 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
∴ সমবৃত্তভূমিক বেলনের = πr²h = 3.1416 × 7² × 10 = 1539.38 ঘন সে.মি. (প্রায়)
এবং সমবৃত্তভূমিক বেলনের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2πr (r +h)
= 2 × 3.1416 × 7 ( 7 + 10 )
= 747.7 বর্গ সে.মি. (প্রায়)
তাহলে আজকের আলোচনায় সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার কাকে বলে সিলিন্ডারের সূত্র যেমন:- সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র, সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ও নবম দশম শ্রেণির গণিত বইয়ের সিলিন্ডারের অংক নিয়ে আলোচনা করা হলো। সিলিন্ডার সম্পর্কিত যদি আরো কিছু জানার থাকে অবশ্যই কমেন্ট করবেন। ভালো লাগলে শেয়ার করে পাশে থাকুন। ধন্যবাদ।